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2012年10月 1日 (月)

全国高等学校麻雀大会選手権(インターハイ)団体戦のトーナメントを考える

全国高等学校麻雀選手権大会(インターハイ)団体戦は、2回戦以降は2校勝ち抜けとなっています。
三尋木プロは「バイオレンス感足りなくねぇ?」と言ってますとおり、全国大会の場合は1位勝ち抜けでもトーナメントを組むことが可能ですが、さまざまな校数が参加する都道府県予選を公平に運営するためには、どうしても2位以上勝ち抜けのシステムが必要になります。
その辺のことをグダグダと考えてみました。
既にどなたが書かれていてもおかしくないネタですが、それでもよろしければ本文へ。

2位以上勝ち抜けでないと公平に運営できない例が、奈良県予選です。

インターハイ団体戦奈良県予選は32校参加。
シードが何校あったかわかりませんが、1回戦不戦勝なし。1回戦は1位勝ち抜け、2回戦は8校(8=32÷4)で戦い2位以上勝ち抜け、残った4校で決勝戦となっています。
Ws000192

公平なトーナメントを、
・全ての試合は4校でおこなわれる
・不戦勝がある場合は1回戦のみとする。2回戦以降は決勝戦まで全ての高校の勝ち抜け条件を同一とする
と定義しておいて、数学は昔取った杵柄の管理人が、「麻雀大会のトーナメントで32校が参加する場合、1位勝ち抜けだけでは公平なトーナメントが組めない」ことの証明をしてみましょう。
背景色で書きましたので興味あるかたは、色反転してみてください。

まず、最初に2回戦以降の参加チーム数が4のn乗(nは1以上の整数)であることを証明します。
決勝戦のチーム数は4校です。準決勝のチーム数は、決勝に進んだチームが準決勝で4校の対戦で1位勝ち抜けしたので、4×4=16校です。以下、対戦を遡る毎にチーム数が4倍になるので、決勝戦から数えた参加チーム数は、初項 4 項比4の等比数列です。従って、決勝戦をn=1, 準決勝をn=2, 準々決勝をn=3,.. とする参加チーム数は、4のn乗になります。
さて、奈良県大会の参加チームは32校です。奈良県大会で1位勝ち抜けのトーナメントを組むためには、2回戦に参加するチーム数をn=2の16校にしなければなりません。(n=1の4校、およびn=3以上の64校以上が不可能なのは明らか)
2回戦参加チーム数のうち、1回戦不戦勝のチーム数をA, 1回戦を一位勝ち抜けたチーム数をBとすると、
A+B=16
A+4xB=32
を満たす非負整数AとBが存在しなければなりません。
上式をA=16-B に変形して下式に代入すると B=16/3 A=32/3 で整数になりません。
従って、奈良県大会団体戦では1位勝ち抜けでトーナメントを組むことができません。

Q.E.D.

さて、2回戦が2位以上勝ち抜けであることにより、阿知賀女子が1回戦で晩成と当たったのは、かなりの幸運だったと言えます。
もし2回戦で当たっていれば、晩成の部員数なら1回戦の対戦をあらかじめ研究することもできたでしょうし、もし玄ちゃんのドラが集まる能力を偶然と判断して不覚を取ったとしても2位以上勝ち抜けなら晩成も決勝に進めるでしょうから決勝戦でリベンジも可能でしょう。
しかも、奈良県大会は半荘3回であることが確定しています(セーラが阿知賀の牌譜が半荘5回分と言っていて、全国大会1回戦が半荘2回なので)。奈良県大会が1日か2日間で行われたのか描写がないのでわかりませんが、1日なら決勝戦が真夜中になってしまうので、決勝戦は2日目でしょう。

奈良県大会10連覇を狙う晩成高校、1回戦を圧倒的な差を見せつけて勝ち抜いたものの、2回戦で10年ぶり出場の阿知賀女子学園に不覚をとり、2位で決勝進出することになった。自身は+15400点だったものの阿知賀の先鋒に3万点以上差をつけられた2位だった小走先輩は、決勝でリベンジを果たすべく真夜中の特訓に励むのであった。
そんなSSはまだですか?

もう1つ
昨年の奈良県予選は阿知賀女子が不参加ですので31校でトーナメントを組んだはずです。そこで、31校でトーナメント表を組んでみました。

Photo_2
2回戦を4の倍数のチーム数にするために、1回戦不戦勝は3校となります。(11校でも可能ですが、不戦勝かどうかでちょっと差がありすぎるような気が。でも、その場合、2回戦4試合は1回戦不戦勝校を3・3・3・2に分けて、1回戦1位勝ち抜け校を1・1・1・2に分けた方が公平かな?) 残り28校(=7試合)で13校残すようにするためには、1位勝ち抜け1試合、2位以上勝ち抜け6試合にしなければなりません。ですので、1回戦不戦勝の3校は決勝で当たるようにしたかったのですが、どうしてもできませんでした。ということは、3校以外にとっては、右ブロックになるか左ブロックになるかで、決勝進出の可能性がかなり変わってきますね。

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コメント

31チームの場合は1回戦の時点ではトーナメント表を作らずに
シード3校と1回戦7試合の組み合わせだけを組んで
1回戦を終えて16チームになってから表を作るしか無いのでは
この方が一回戦も二位になった7校のうち
最も点数の少ないチームのみ敗退にする等、公平にできるので

半荘何回ずつなのかは、けっこうやっかいな問題です。

・アニメ3話7分ごろのスコアボードに「先鋒後半戦」の表記(奈良1回戦)
・阿知賀編2巻26ページのテレビに「先鋒戦 前半 東1局」の表記(全国1回戦)
・阿知賀編2巻117ページ&アニメ5話24分ごろ
  セーラ「逆に半荘5回くらい? そんなにサンプルが少ないんやったら」(宥への評価)
・アニメ7話5分ごろ
  セーラ「地区予選と全国あわせて5試合しかデータがない」(灼への評価)

全てに矛盾のない解答は、

奈良1回戦:2回(大将オーラスまでプレイ確定)
奈良2回戦:1回
奈良決勝:1回
全国1回戦:2回(大将までプレイ確定)

この構成で、ただし奈良2回戦か決勝のどちらかで、玄が相手校をトバして終了しているので宥と灼は5半荘分しかデータがない、ということになるでしょう。
長野と同じ3回戦構成なのにこんな回数になってる合理的な理由が思いつきませので、描写のうちのいずれかは表記ミスの可能性がかなり有りそうです。

> シード3校と1回戦7試合の組み合わせだけを組んで
> 1回戦を終えて16チームになってから表を作るしか無いのでは
なるほど。そうすれば 1回戦不戦勝のチームもブロックを分けることができますね。続きの記事を書くときに、その説を採用させていただきます。
1回戦が終わってから抽選するのは時間的に厳しいかなとも思ったのですが、一日目1回戦&2回戦抽選、二日目2回戦&決勝戦とすれば、可能ですね。コメントありがとうございました。

> ・アニメ3話7分ごろのスコアボードに「先鋒後半戦」の表記(奈良1回戦)
テレビ・BD 両方確認しましたが、確かに後半戦になっていますね。気がつきませんでした。
でもそのわりには、その後に出てくる大将戦では、前半・後半の表記がないですし、いくらドラ爆の玄ちゃんでも10万点を飛ばすのは難しそうですし、漫画の方には半荘2回を示す表記がないことを考えると、アニメの方の表記ミスの可能性が高いかなと思います。コメントありがとうございました。

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